【題目】橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,過右焦點F2(c,0)垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點且|AB|= ,又過左焦點F1(﹣c,0)任作直線l交橢圓于點M
(1)求橢圓C的方程
(2)橢圓C上兩點A,B關于直線l對稱,求△AOB面積的最大值.

【答案】
(1)解:由題意可知橢圓的通徑丨AB丨= = ,①

橢圓的離心率e= = = ,則 = ,②

由①②解得:a2=3,b2=2,

∴橢圓的標準方程為:


(2)解:由(1)可知:左焦點F1(﹣1,0),

依題意直線l不垂直x軸,當直線l的斜率k≠0時,可設直線l的方程為:y=k(x+1)(k≠0)

則直線AB的方程為:y=﹣ +b.A(x1,y1),B(x2,y2),

聯(lián)立 ,整理得,(2k2+3)x2﹣6kmx+3k2m2﹣6k2=0,

△=(6km)2﹣4×(2k2+3)(3k2m2﹣6k2)>0,則m2k2﹣2k2﹣3<0,

x1+x2= ,x1x2= ,

設AB的中點為C(xC,yC),則xC= = ,yC=

點C在直線l上,∴ =k( +1),則m=﹣2k﹣ ,…②

此時m2﹣2﹣ =4k2+ +4>0與①矛盾,故k≠0時不成立.

當直線l的斜率k=0時,A(x0,y0),B(x0,﹣y0)(x0>0,y0>0)

△AOB面積s= ×2y0×x0=x0y0

+ =1≥2 = x0y0,∴x0y0

∴△AOB面積的最大值為 ,當且僅當 + = 時取等號.

△AOB面積的最大值


【解析】(1)由橢圓的通徑公式及離心率公式,即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程;(2)當直線l的斜率k≠0時,可設直線l的方程為:y=k(x+1)(k≠0),即可求得直線AB的方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,由△>0得到k,m的關系式,再由對稱性求得k,m的關系式,此時k不存在;當直線l的斜率k=0時,A(x0 , y0),B(x0 , ﹣y0)(x0>0,y0>0)△AOB面積s=x0y0 , 由均值不等式求解.

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