Question

3．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項為S_n，若a₁=2，$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=21，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項和為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$或$\frac{11}{32}$
• B． $\frac{1}{2}$或$\frac{31}{32}$
• C． $\frac{11}{32}$或$\frac{31}{32}$
• D． $\frac{11}{32}$或$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由等比數(shù)列前n項和公式得q⁴+q²-20=0，從而q=±2．由此能求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項和．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}的前n項為S_n，a₁=2，$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=21，
∴$\frac{{S}_{6}}{{S}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}$=$\frac{1-{q}^{6}}{1-{q}^{2}}$=21，
即$\frac{（1-{q}^{3}）（1+{q}^{3}）}{（1-q）（1+q）}$=（1+q+q²）（1-q+q²）=（1+q²）²-q²=21，
整理，得q⁴+q²-20=0，
解得q=±2．
當(dāng)q=2時，${a}_{n}=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項和為${S}_{5}=\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}=\frac{31}{32}$
當(dāng)q=-2時，a_n=2×（-2）^n-1，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項和為${S}_{5}=\frac{\frac{1}{2}[1-（-\frac{1}{2}）^{5}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{11}{32}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前5項和為$\frac{11}{32}$或$\frac{31}{32}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的前5項和的求法，是中檔題，解題時認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．