Question

在直角梯形PBCD中，，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，如下左圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且，M，N分別是線段AB，BC的中點，如右圖．
（1）求證：SA⊥平面ABCD；
（2）求證：平面AEC∥平面SMN．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中直角梯形PBCD中，，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，可得BA⊥PD，ABCD為正方形，進而得到SB⊥BC，AB⊥BC，故BC⊥平面SAB，由線面垂直的定義，可得BC⊥SA，又SA⊥AB，結合線面垂直的判定定理，可得SA⊥平面ABCD；
（2）連接BD，設BD∩MN=G，BD∩AC=O，連接SG，EO，利用三角形中位線定理，我們易得MN∥AC，EO∥SG，結合面面平行的判定定理，即可得到平面AEC∥平面SMN．
解答：證明：（1）由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，
所以在圖中，SA⊥AB，SA=2，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
因為SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，（3分）
又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD，（6分）
（2）連接BD，設BD∩MN=G，BD∩AC=O，連接SG，EO，
正方形ABCD中，因為M，N分別是線段AB，BC的中點，所以MN∥AC，
且DO=2OG，（9分）
又SE=SD，所以：DE=2SE，所以EO∥SG，
所以平面SMN∥平面EAC．（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間中直線與平面垂直在判定定理及直線與平面平行判定定理，是解答本題的關鍵．