Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值與零點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=

1-x

kx

+lnx，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，證明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)f（x）圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與斜率的關(guān)系，可得f′（2）=-5，求出m的值，然后再求出
函數(shù)f（x）的極值與零點(diǎn)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）已經(jīng)知道f（x）的極大值和極小值，對(duì)命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：對(duì)任意x₁∈[0，1]時(shí)，存在x₂∈（0，1]時(shí)，使f（x₁）＞g（x₂）”等價(jià)于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，因k值與0的關(guān)系不知道，所以要分類討論：k＞0；k=0；k＜0；進(jìn)行求解；
（Ⅲ）要利用（Ⅰ）、（Ⅱ）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行求證，利用不等式

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），對(duì)要證明的不等式左邊的式子進(jìn)行放縮，進(jìn)行證明；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）=-3x²-4mx-m²，所以f′（2）=-12-8m-m²=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，…（2分）
由f′（x）=-3x²+4x-1，解得x₁=1，x₂=

1

3

，列表如下：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（　x�。�	減函數(shù)	極小值 50 27	增函數(shù)	極大值2	減函數(shù)

所以f（x）_極小值=f（

1

3

）=

50

27

，f（x）_極大值=f（1）=2，
因?yàn)閒（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1），
所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是x=2．                                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）_min=

50

27

，
“對(duì)任意x₁∈[0，1]時(shí)，存在x₂∈（0，1]時(shí)，使f（x₁）＞g（x₂）”等價(jià)于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，
即當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g（x）_min＜

50

27

”，…（6分）
因?yàn)間′（x）=-

1

kx2

+

1

x

=

x- 1 k

x2

，
①當(dāng)k＜0時(shí)，因?yàn)閤∈（0，1]時(shí)，所以g（x）=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符合題意；
②當(dāng)0＜k≤1時(shí)，

1

k

≥1，所以x∈（0，1]時(shí)，g′（x）≤0，g（x）單調(diào)遞減，
所以g（x）_min=g（1）=0＜

50

27

，符合題意；
③當(dāng)k＞1時(shí)，0＜

1

k

＜1，所以x∈（0，

1

k

）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，x∈（

1

k

，1）時(shí)，
g′（x），g（x）單調(diào)遞增，所以x∈（0，1]時(shí)，g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

，
令φ（x）=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1），則φ′（x）=

1

x

-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，所以x∈（0，1）時(shí)，φ（x）＜φ（1）=-

50

27

＜0，
即lnx-x＜

23

27

，
所以g（x）min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符合題意，
綜上所述，若對(duì)任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，，使f（x₁）＞f（x₂）成立，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）．                           …（10分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，（x²+1）（2-x）≥

50

27

，即

x

1+x2

≤

27

50

（2x-x²），
當(dāng)a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1時(shí)，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2（a+b+c）-（a²+b²+c²）]=

27

50

[2-（a²+b²+c²）]

又因?yàn)椋╝+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc≤3（a²+b²+c²），
所以a²+b²+c²≥

1

3

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取等號(hào)，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2-（a²+b²+c²）]≤

27

50

（2-

1

3

）=

9

10

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取等號(hào)，…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與切線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，前兩問(wèn)比較容易求解，第三問(wèn)難度比較大，需要用到前兩問(wèn)的結(jié)論，此題考查知識(shí)點(diǎn)比較全面，是一道綜合題；