Question

設(shè)f（x）=，g（x）=-x+a（a＞0）
（1）若F（x）=f（x）+g（x），試求F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)G（x）=，試求a的值，使G（x）到直線x+y-1=0距離的最小值為；
（3）若不等式對x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出F（x）=f（x）+g（x），的解析式，是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，對其配方后再由二次函數(shù)的性質(zhì)研究其單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)G（x）的解析式作出圖象的示意圖，根據(jù)幾何意義判斷出G（x）圖象上的點(diǎn)到直線x+y-1=0距離的最小值在點(diǎn)P處取到，由此建立起距離最小值的方程，求出a的值；
（3）不等式對x∈[1，4]恒成立，可通過等價(jià)變形逐步探究得出，解出a的取值范圍．
解答：解：（1）∵F（x）=f（x）+g（x）=-x++a=-（-）²+a+，
易得當(dāng)≥，即x∈[，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[，+∞）
（2）G（x）=，其圖象如圖，
由圖象得，所求的最小值即為點(diǎn)P到直線的距離，亦即兩平行線x+y-1=0與x+y-a=0之間的距離
由，且a＞1，得a=3
（3）由得
即-1≤≤1
即0≤≤2對x∈[1，4]恒成立
當(dāng)x=1，x=4分別代入得解得0＜a≤2-2
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)最值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)最值的位置及利用函數(shù)的最值建立方程求參數(shù)，函數(shù)最值是函數(shù)一個(gè)重要的性質(zhì)，其題型一般有判斷最值求最值，及利用最值建立方程求參數(shù)，函數(shù)最值考查的題型也是高考中的覺題型，要注意積累函數(shù)最值的判斷方法及函數(shù)最值的用法，本題綜合性強(qiáng)，較抽象，解題時(shí)轉(zhuǎn)化要嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)算認(rèn)真