Question

（文科）已知{a_n}是單調遞增的等差數列，首項a₁=3，前n項和為S_n，數列{b_n}是等比數列，首項b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）令C_n=nb_n（n∈N⁺），求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設公差為d，公比為q，則a₂b₂=（3+d）q=12①，S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
聯立①②結合d＞0可求d，q，利用等差數列，等比數列的通項公式可求a_n，b_n
（Ⅱ）由（I）可得，b_n=2^n-1，c_n=n•2^n-1，考慮利用錯位相減求解數列的和即可

解答：解：（Ⅰ）設公差為d，公比為q，
則a₂b₂=（3+d）q=12①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=20②
聯立①②可得，（3d+7）（d-3）=0
∵{a_n}是單調遞增的等差數列，d＞0．
則d=3，q=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ）b_n=2^n-1，c_n=n•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n
T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1
2T_n=1•2¹+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ…（9分）
兩式相減可得，-T_n=1•2⁰+1•2¹+1•2²+…+1•2^n-1-n•2ⁿ
∴-T_n=

1-2n

1-2

-n•2n=2ⁿ-1-n•2ⁿ
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1…（13分）

點評：本題主要考查了利用基本量表示的等差數列、等比數列的通項，求和公式的應用，錯位相減求解數列的和，屬于數列的知識的綜合應用．