Question

已知橢圓C的中心在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在x軸上，右焦點F到其左頂點A的距離為3，到右頂點B的距離為1．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）P是橢圓C上不同于A，B的任意一點，直線AP，BP分別與直線x=3相交于點M，N，直線BM與橢圓C相交于異于點B的另一點Q．
（i）求

FM

•

FN

的值；
（ii）求證：A，Q，N三點共線．

Answer 1

分析：（I）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用右焦點F到其左頂點A的距離為3，到右頂點B的距離為1，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）（i）設出直線AP，BP的方程，求出M，N的坐標，利用向量的數(shù)量積公式，結合P在橢圓上，即可求

FM

•

FN

的值；
（ii）設出直線MB，AN的方程，求出交點坐標，驗證在橢圓上，即可證明A，Q，N三點共線．

解答：（I）解：設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵右焦點F到其左頂點A的距離為3，到右頂點B的距離為1，
∴

a+c=3 a-c=1

，∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則
直線AP：y=

y0

x0+2

(x+2)，聯(lián)立直線AP與直線x=3，可得M（3，

5y0

x0+2

）；
直線BP：y=

y0

x0-2

(x-2)，聯(lián)立直線AP與直線x=3，可得N（3，

y0

x0-2

），
（i）解：∵F（1，0），∴

FM

=(2，

5y0

x0+2

)，

FN

=(2，

y0

x0-2

)
∴

FM

•

FN

=4+

5y02

x02-4

∵

x02

4

+

y02

3

=1
∴y02=3-

3

4

x02
∴

FM

•

FN

=4+

5(3- 3 4 x02)

x02-4

=

1

4

；
（ii）證明：直線MB的方程為y=

5y0

x0+2

（x-2），直線AN的方程為y=

1 5 y0

x0-2

（x-2）
聯(lián)立直線MB，NA，可得交點坐標為（

13x0-24

6x0-13

，

5y0

6x0-13

）
∵y02=3-

3

4

x02
∴

( 13x0-24 6x0-13 )2

4

+

( 5y0 6x0-13 )2

3

=1
∴直線MB，NA的交點在橢圓上，
∴A，Q，N三點共線．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線的方程，考查交點坐標的求解，考查學生的計算能力，綜合性強．