Question

如圖為一組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2
（Ⅰ）求證：BE∥平面PDA；
（Ⅱ）求四棱錐B-CEPD的體積；
（Ⅲ）求該組合體的表面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明EC∥平面PDA、BC∥平面PDA，從而證明平面BEC∥平面PDA，再由面面平行的性質(zhì)證明BE∥平面PDA．
（Ⅱ）先證明BC⊥平面PDCE，求出提梯形PDEC的面積，即可求得四棱錐B-CEPD的體積V_B-CEPD 的體積．
（Ⅲ）先求出三角形PBE的面積，再求出S_ABCD、S_PDCE=3、S_PDA=2、S_BCE=1、SPAB=2

2

 的值，從而求得組合體的表面積．

解答：（Ⅰ）證明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA．
同理可證BC∥平面PDA．
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，∴平面BEC∥平面PDA．
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PDCE．
∵S_梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）•DC=

1

2

×3×2=3，
∴四棱錐B-CEPD的體積V_B-CEPD=

1

3

S_梯形PDCE•BC=

1

3

×3×2=2．
（Ⅲ）解：∵BE=PE=

5

PD=2

3

，
∴SPBE=

1

2

×2

3

×

2

=

6

．
又∵S_ABCD=4，S_PDCE=3，S_PDA=2，S_BCE=1，SPAB=2

2

，
∴組合體的表面積為10+2

2

+

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線平行、線面平行、面面平行的方法，求棱錐的體積和組合體的表面積，屬于中檔題．