Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都是地面邊長的倍，P為側棱SD上的點。

（1）求證：AC⊥SD；

（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（3）在（2）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC。

在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，

得AC⊥SD。

（Ⅱ）設正方形邊長a，則SD=。

又OD=，所以SOD=60°，

連OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以POD=30°，

即二面角P-AC-D的大小為30°。

（Ⅲ）在棱SC上存在一點E，使BE//平面PAC

由（Ⅱ）可得PD=，故可在SP上取一點N，使PN=PD，過N作PC的平行線與SC的交點即為E。連BN。在△BDN中知BN//PO，又由于NE//PC，故平面BEN//平面PAC，得BE//平面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1。

解法二：

（1）連BD，設AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD，

以O為坐標原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，

建立坐標系O-xyz如圖。設底面邊長為a，則

（2）由題意知面PAC的一個法向量為

（3）在棱SC上存在一點E使BE//面PAC

由（2）知為面PAC的一個法向量，且設E（x,y,z）

【解析】略