Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c和“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx（a、b、c∈R，abc≠0），
（I）證明：只要a＜0，無論b取何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；
（Ⅱ）在二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c圖象上任意取不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點的橫坐標為x₀，記直線AB的斜率為k，（i）求證：k=f′（x₀）；（ii）對于“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有（i）同樣的性質(zhì)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

（I）函數(shù)的定義域為（0，+∞），要使函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)總為增函數(shù)，
則g′(x)=2ax+b+

c

x

=

2ax2+bx+c

x

＞0恒成立，①--------（1分）
當x＞0時恒成立，則2ax²+bx+c＞0 ②
因為a＜0，由二次函數(shù)的性質(zhì)，②不可能恒成立．
則函數(shù)g（x）不可能總為增函數(shù)．--------（4分）
（II）（i）k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

a( x 22 - x 21 )+b(x2-x1)

x2-x1

=a（x₂+x₁）+b=2ax₀+b，--------（6分）
由f'（x）=2ax+b，所以f'（x₀）=2ax₀+b，…..（7分）  
則k=f′（x₀）．--------（7分）
（ii）不妨設x₂＞x₁，對于“偽二次函數(shù)”：g（x）=ax²+bx+clnx，
k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

a( x 22 - x 21 )+b(x2-x1)-cln? x2 x1

x2-x1

=2ax0+b+

cln x2 x1

x2-x1

，③--------（9分）
由（�。┲孝僦�g′(x0)=2ax0+b+

c

x0

，
如果有（ⅰ）的性質(zhì)，則g'（x₀）=k，④，
比較③④兩式得

cln x2 x1

x2-x1

=

c

x0

，c≠0，
即：

ln x2 x1

x2-x1

=

1

x0

=

x1+x2

2

--------（12分）
不妨令t=

x2

x1

，t＞1，則

lnt

t-1

=

2

t+1

，即lnt=

2t-2

t+1

⑤，
設s(t)=lnt-

2t-2

t+1

，則s′(t)=

1

t

-

2(t+1)-(2t-2)

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴s（t）在（1，+∞）上遞增，∴s（t）＞s（1）=0．
∴⑤式不可能成立，④式不可能成立，即g'（x₀）≠k．--------（14分）
∴“偽二次函數(shù)”g（x）=ax²+bx+clnx，不具有（ⅰ）的性質(zhì)．--------（15分）