Question

已知點(diǎn)C（4，0）和直線l：x=1，過動點(diǎn)P作PQ⊥l，垂足為Q，且；
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程，
（2）過點(diǎn)C的直線m與點(diǎn)P的軌跡交于兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中x₁x₂＞0，點(diǎn)B（1，0），若△BMN的面積為，求直線m的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，設(shè)P（x，y），代入得，整理得點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）由題知直線m的斜率不為0，且點(diǎn)C（4，0）為雙曲線 的右焦點(diǎn)，設(shè)m的方程為x=ty+4，由得（3t²-1）y²+24ty+36=0，所以x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16．由此入手能夠求出直線m的方程．
解答：解：（1）由題，∴，
設(shè)P（x，y），
代入得，
整理得點(diǎn)P的軌跡方程為：，（3分）
（2）由題知直線m的斜率不為0，
且點(diǎn)C（4，0）為雙曲線的右焦點(diǎn)，
設(shè)m的方程為x=ty+4，由得（3t²-1）y²+24ty+36=0，（5分）
易知3t²-1≠0且，
∴x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，（7分）
由x₁x₂＞0得，=，（10分）
解得或（舍），
∴，
直線m的方程為：2x+y-8=0或2x-y-8=0．（12分）
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法和直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．