Question

定義：稱

n

p1+p2+…+pn

為n個正數(shù)p₁，p₂，…p_n的“均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項的“均倒數(shù)”為

1

2n+1

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設dn=2n•an，試求數(shù)列{d_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用給出的定義得到

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出數(shù)列{a_n}的通項，驗證n=1時滿足，所以數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入dn=2n•an，然后利用錯位相減法求出數(shù)列{d_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知定義，得

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，即Sn=2n2+n．
當n=1時，a₁=S₁=3．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
當n=1時也成立，∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）由a_n=4n-1，所以dn=2n•an=（4n-1）•2ⁿ．
則數(shù)列{d_n}的前n項和T_n=d₁+d₂+d₃+…+d_n．
即 Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n（1）
2Tn=3×22+7×23+11×24+…+(4n-1)×2n+1（2）
（1）-（2）得：-Tn=6+4×(22+23+…+2n)-(4n-1)•2n+1
=6+4×

4(1-2n-1)

1-2

-(4n-1)•2n+1=-10+（5-4n）•2ⁿ⁺¹．
所以 Tn=(4n-5)•2n+1+10．

點評：本題是新定義題，考查了由數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式，運用了分類討論的數(shù)學思想方法，考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查了學生的計算能力，是中檔題．