Question

對任意一個非零復數(shù)z，定義集合．
（Ⅰ）設α是方程的一個根．試用列舉法表示集合M_a，若在M_a中任取兩個數(shù)，求其和為零的概率P；
（Ⅱ）設復數(shù)ω∈M_z，求證：M_ω⊆M_z．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由α是方程的根，可得．當時，由，可得=． 當時，同理求得．由此求得在M_a中任取兩個數(shù)，求其和為零的概率．
（Ⅱ）由ω∈M_z，可得存在m∈N，使得ω=z^2m-1．于是對任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇數(shù)，ω^2n-1∈M_z，命題得證．
解答：解：（Ⅰ）∵α是方程的根，∴．…（2分）
當時，∵，
∴=．
當時，∵，
∴=．
當時，∵，∴．
因此，不論α取哪一個值，集合M_α是不變的，即．…（8分）
于是，在M_a中任取兩個數(shù)，求其和為零的概率 ．…（10分）
（Ⅱ）證明：∵ω∈M_z，∴存在m∈N，使得ω=z^2m-1．…（12分）
于是對任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇數(shù)，ω^2n-1∈M_z，所以M_ω⊆M_z．…（14分）
點評：本題主要考查兩個復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，等可能事件的概率求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．