Question

19．已知矩陣$M=[{\begin{array}{l}2&a\\ b&1\end{array}}]$，其中a，b均為實數(shù)，若點A（3，-1）在矩陣M的變換作用下得到點B（3，5），求矩陣M的特征值．

Answer 1

分析 由題意得$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{3b-1=5}\end{array}\right.$，解得M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，由此能求出矩陣M的特征值．

解答 解：由題意得：$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{6-a}\\{3b-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{3b-1=5}\end{array}\right.$，解得a=3，b=2．∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，
設(shè)矩陣M的特征值為λ，
則f（λ）=$|\begin{array}{l}{2-λ}&{3}\\{2}&{1-λ}\end{array}|$=0，化為（2-λ）（1-λ）-6=0，
化為λ2-3λ-4=0，
解得λ₁=-1，λ₂=4．

點評 本題考查矩陣的特征值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意矩陣運算法則的合理運用．