Question

如圖，△ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E．
（1）證明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面積S=

1

2

AD•AE，求∠BAC的大�。�

Answer 1

分析：（1）要判斷兩個(gè)三角形相似，可以根據(jù)三角形相似判定定理進(jìn)行證明，但注意觀察已知條件中給出的是角的關(guān)系，故采用判定定理1更合適，故需要再找到一組對(duì)應(yīng)角相等，由圓周角定理，易得滿足條件的角．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可得三角形對(duì)應(yīng)對(duì)成比例，由此我們可以將△ABC的面積S=

1

2

AD•AE轉(zhuǎn)化為S=

1

2

AB•AC，再結(jié)合三角形面積公式，不難得到∠BAC的大�。�

解答：證明：（1）由已知△ABC的角平分線為AD，
可得∠BAE=∠CAD
因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：（2）因?yàn)椤鰽BE∽△ADC，
所以

AB

AE

=

AD

AC

，
即AB•AC=AD•AE．
又S=

1

2

AB•ACsin∠BAC，
且S=

1

2

AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
則sin∠BAC=1，
又∠BAC為三角形內(nèi)角，
所以∠BAC=90°．

點(diǎn)評(píng)：相似三角形有三個(gè)判定定理：判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似； 判定定理2：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；判定定理3：兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．在證明三角形相似時(shí)，要根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ恚?/div>