Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)和短軸的兩個端點(diǎn)都在圓x²+y²=1上．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若斜率為k的直線過點(diǎn)M（2，0），且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．試探討k為何值時，三角形OAB為直角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知b和c，利用隱含條件求出a，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A與B的橫坐標(biāo)的和與積，討論O與A（或B）為直角頂點(diǎn)兩種情況，O為直角頂點(diǎn)時，直接由

OA

•

OB

=0列式求解k的值，若A（或B）為直角頂點(diǎn)時，由斜率之積等于-1求出OA的斜率，由兩直線聯(lián)立解出A點(diǎn)（或B）點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求得k的值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)榻裹c(diǎn)與短軸的端點(diǎn)都在圓x²+y²=1上，
∴c=1，b=1，
∴a²=b²+c²=1+1=2．
則橢圓方程為：

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2）．
聯(lián)立

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

，得（1+k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
由△=64k⁴-4（1+k²）（8k²-2）＞0，得k2＜

1

2

．
所以k∈(-

2

2

，

2

2

)．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

8k2

1+k2

，x1x2=

8k2-2

1+k2

．
若O為直角頂點(diǎn)，則

OA

•

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
y₁y₂=k（x₁-2）k（x₂-2）．
所以上式可整理得：

8k2-2

1+2k2

+

4k2

1+2k2

=0．
解得k=±

5

5

．滿足k∈(-

2

2

，

2

2

)．
若A或B為直角頂點(diǎn)，不妨設(shè)A為直角頂點(diǎn)，
kOA=-

1

k

，則A滿足

y=- 1 k x y=k(x-2)

，解得

x= 2k2 k2+1 y=- 2k k2+1

代入橢圓方程得k⁴+2k²-1=0．
解得k=±

2 -1

．滿足k∈(-

2

2

，

2

2

)．
綜上，k=±

5

5

或k=±

2 -1

時三角形OAB為直角三角形．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法哈數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了平面向量在解題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計算能力，是難題．