Question

設(shè)函數(shù)ht(x)=3tx-2t

3

2

，若有且僅有一個正實數(shù)x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正數(shù)t都成立，則x₀=（　�。�

• A．5
• B．

  5

• C．3
• D．

  7

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（t）=3tx0-2t

3

2

，則g′（t）=3x0-3t

1

2

，分析可得g（

x

2 0

）即為函數(shù)g（t）=3tx0-2t

3

2

的最大值，則可將已知化為

x

2 0

=7．

解答：解：令g（t）=3tx0-2t

3

2

-（21x0-2

73

），則g′（t）=3x0-3t

1

2

令g′（t）=0，則t=

x

2 0

，由此得t＜

x

2 0

，g′（t）＞0，t＞

x

2 0

，g′（t）＜0，
可得g（

x

2 0

）即為函數(shù)g（t）=3tx0-2t

3

2

的最大值，
若有且僅有一個正實數(shù)x₀，使得h₇（x₀）≥h_t（x₀）對任意的正數(shù)t都成立，
則g（7）為函數(shù)g（t）的最大值，且7是函數(shù)g（t）的唯一最大值
∴

x

2 0

=7
又∵x₀為正實數(shù)，
故x₀=

7

故選D

點評：本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，其中構(gòu)造以t為自變量的新函數(shù)，并分析函數(shù)的單調(diào)性，進而將已知轉(zhuǎn)化為

x

2 0

=7是解答的關(guān)鍵．