Question

10．設(shè)函數(shù)$f（x）=|{\frac{1}{x}+a}|+|{x-a}|（{x≠0}）$
（1）若f（1）＞4，求a的取值范圍；
（2）證明f（x）≥2．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得a的取值范圍．
（2）由條件利用絕對(duì)值三角不等式，基本不等式，證得不等式f（x）≥2成立．

解答 解：（1）由題意可得，f（1）=|1+a|+|1-a|＞4，
|1+a|+|1-a|表示數(shù)軸上的a對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，而2、-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1、1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于4，
故由|1+a|+|1-a|＞4可得a＜-2，或 a＞2．
（2）函數(shù)f（x）=|a+$\frac{1}{x}$|+|a-x|≥|（a+$\frac{1}{x}$）-（a-x）|=|$\frac{1}{x}$+x|=|x|+|$\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\frac{1}{|x|}$，即x=±1時(shí)，取等號(hào)，故f（x）≥2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值三角不等式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．