Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

x

，g（x）=lnx．
（1）求函數(shù)f（x）在點（1，0）處的切線y=h（x）；
（2）在（1）的條件下，證明：對任意的x∈（0，+∞），h（x）-g（x）≥

1

2

f（x）恒成立；
（3）若對于任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞m[g（x₁）-g（x₂）]都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導f′（x）=1+

1

x2

從而求斜率為f′（1）=1+1=2；從而得到切線方程；
（2）令F（x）=h（x）-g（x）-

1

2

f（x）=2（x-1）-lnx-

1

2

（x-

1

x

），求導F′（x）=

(3x+1)(x-1)

2x2

，從而化恒成立問題為最值問題．
（3）對于任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞m[g（x₁）-g（x₂）]都成立可化為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞m

g(x1)-g(x2)

x1-x2

；即f′（x）＞mg′（x），從而解得．

解答： 解：（1）f′（x）=1+

1

x2

，則f′（1）=1+1=2；
故函數(shù)f（x）在點（1，0）處的切線y=h（x）=2（x-1）；
（2）證明：令F（x）=h（x）-g（x）-

1

2

f（x）
=2（x-1）-lnx-

1

2

（x-

1

x

），
F′（x）=

(3x+1)(x-1)

2x2

，
故F（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
且F（1）=2（1-1）-ln1-

1

2

（1-1）=0，
故F（x）≥0，
故對任意的x∈（0，+∞），h（x）-g（x）≥

1

2

f（x）恒成立；
（3）對于任意的x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞m[g（x₁）-g（x₂）]都成立可化為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞m

g(x1)-g(x2)

x1-x2

；
即f′（x）＞mg′（x），
即1+

1

x2

＞m

1

x

；
∴m＜x+

1

x

；
∵（x+

1

x

）_min=2，
（當且僅當x=1時，等號成立）
故m＜2．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了轉化的思想應用，屬于難題．