Question

（2013•奉賢區(qū)二模）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2，AB=1，E是DD₁上的一點．
（1）求異面直線AC與B₁D所成的角；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得到此兩條異面直線所成的角；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理即可得到點E的坐標，利用V_A-CDE=V_E-ADC即可得到體積．

解答：解：以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．                                                                    
（1）依題意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，2），
∴

AC

=(-1，1，0)，

DB1

=(1，1，2)
∴

DB1

•

AC

=0，
∴異面直線AC與B₁D所成的角為

π

2

．
（2）設(shè)E（0，0，a），則

AE

=(-1，0，a)，
∵B₁D⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴B₁D⊥AE．
∴

DB1

•

AE

=0，∴-1+2a=0，a=

1

2

．
∴V_A-CDE=V_E-ADC=

1

3

S△ADC ×DE=

1

3

×

1

2

×12×

1

2

=

1

12

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系的方法并利用異面直線的方向向量的夾角得到兩條異面直線所成的角、及掌握線面垂直的性質(zhì)定理、“等積變形”、三棱錐的體積計算公式是解題的關(guān)鍵．