Question

已知函數．
（I）求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（II）設F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調遞增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數，知f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，由此利用導數性質能求出當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）由F（x）是單調遞增函數，知f′（x）＞0恒成立，所以（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．再由分類討論思想能求出a的取值范圍．
解答：解：（I）∵函數，
∴f（x）的定義域為（2，+∞），且f（4）是f（x）的最小值，
又∵f′（x）=，
∴，解得t=3．
∴=，
∴當2＜x＜4時，f′（x）＜0；當x＞4時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（2，4）上是減函數，在（4，+∞）上是增函數，
∴f（x）在[3，7]上的最大值在應在端點處取得．
∵f（3）-f（7）=（3ln5-ln1）-（3ln9-ln5）=（ln625-ln729）＜0，
∴f（3）＜（7），
故當x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值．
（II）∵F（x）是單調遞增函數，∴f′（x）＞0恒成立．
又∵=，
在f（x）的定義域（2，+∞）上，（x-1）（x²-4）＞0恒成立，
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
下面分類討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況：
當a-1＜0時，不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立；
當a-1=0時，（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-5＞0在（2，+∞）恒成立；
當a-1＞0時，又有兩種情況：
①5²+16（a-1）（a+1）＜0；
②，且（a-1）x²+5×2-4（a+1）＞0．
由①得16a²+9＜0，無解；
由②得a＞-，∵a-1＞0，∴a＞1．
綜上所述，當a≥1時，（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）恒成立．
∴a的取值范圍是[1，+∞）．
點評：本題考查函數的最大值的求法及應用，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．