Question

如圖所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，CA=2，D是CC₁的中點(diǎn)，試問(wèn)在線段A₁B上是否存在一點(diǎn)E（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)A₁到平面AED的距離為

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？

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：計(jì)算題,存在型,向量法,空間位置關(guān)系與距離

分析：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出A₁，A，D的坐標(biāo)，及向量AD，AE，A₁A的坐標(biāo)，假設(shè)在線段A₁B上存在一點(diǎn)E（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)A₁到平面AED的距離為

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．設(shè)平面AED的法向量為

n

=（x，y，z），運(yùn)用向量垂直的條件，得到方程，求得一個(gè)法向量，點(diǎn)A₁到平面AED的距離可看作

A1A

在

n

上投影的絕對(duì)值，運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的公式列出方程，解方程即可判斷．

解答： 解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A₁（2，0，2），A（2，0，0），D（0，0，1），
假設(shè)在線段A₁B上存在一點(diǎn)E（不與端點(diǎn)重合），使得點(diǎn)A₁到平面AED的距離為

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．
可設(shè)BE=m，則E（

1

2

m，2-

1

2

m，

2

2

m），

AD

=（-2，0，1），

AE

=（

1

2

m-2，2-

1

2

m，

2

2

m），

A1A

=（0，0，-2），
設(shè)平面AED的法向量為

n

=（x，y，z），
則由

n

⊥

AD

，得

n

•

AD

=0，即有-2x+z=0①

n

⊥

AE

，得

n

•

AE

=0，即有（

1

2

m-2）x+（2-

1

2

m）y+

2

2

mz=0②
由①②可取

n

=（1，

2 2 m

m-4

+1，2），
則

n

•

A1A

=-4，由于點(diǎn)A₁到平面AED的距離可看作

A1A

在

n

上投影的絕對(duì)值，
則為|

n • A1A

| n |

|=

4

1+( 2 2 m m-4 +1)2+4

=

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，
解得，m=4（

2

-1）＜2

2

，成立．
則在線段A₁B上存在一點(diǎn)E（不與端點(diǎn)重合），且BE=4（

2

-1），
使得點(diǎn)A₁到平面AED的距離為

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3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)到平面的距離的求法，考查運(yùn)用法向量和向量投影的知識(shí)解決問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．