Question

若函數(shù)f（x）=2^|x+7|-|3x-4|的最小值為2，求自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：分三種情況：①當(dāng)x＞

4

3

時；②當(dāng)-7≤x≤

4

3

時；③當(dāng)x＜-7時對函數(shù)f（x）=2^|x+7|-|3x-4|，討論去絕對值，得函數(shù)f（x）為分段函數(shù)．分別解相應(yīng)范圍內(nèi)的不等式，先交后并，最終可以得出滿足條件的自變量x的取值范圍．

解答：解：依題意，2^|x+7|-|3x-4|≥2
∴|x+7|-|3x-4|≥1，（2分）
當(dāng)x＞

4

3

時，不等式為x+7-（3x-4）≥1解得x≤5，即

4

3

＜x≤5（3分）
當(dāng)-7≤x≤

4

3

時，不等式為x+7+（3x-4）≥1解得x≥-

1

2

，即-

1

2

≤x≤

4

3

；           （4分）
當(dāng)x＜-7時，不等式為-x-7+（3x-4）≥1，解得 x≥6，與x＜-7矛盾             （5分）
∴自變量x的取值范圍為-

1

2

≤x≤5．                                             （7分）

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，以及函數(shù)和不等式相綜合等問題，屬于基礎(chǔ)題．按絕對值等于零的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論，將函數(shù)化為分段函數(shù)來解決最值問題，是解決本小題的關(guān)鍵．