Question

已知f（x）=ax³+3x²-x+1，a∈R．
（Ⅰ）當a=-3時，求證：f（x）=在R上是減函數(shù)；
（Ⅱ）如果對?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a=-3代入函數(shù)解析式中確定出f（x）的解析式，求出f（x）的導函數(shù)，配方可知導函數(shù)恒小于等于0，進而得到f（x）在R上為減函數(shù)；
（Ⅱ）求出f（x）的導函數(shù)，把求出的導函數(shù)代入到已知的不等式中，移項使不等式的右邊為0，左邊為一個二次函數(shù)，討論a≥0時，不等式顯然不恒成立；a＜0時，不等式要恒成立，根的判別式△≤0列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）當a=-3時，f（x）=-3x³+3x²-x+1，
∵f′（x）=-9x²+6x-1=-（3x-1）²≤0，
∴f（x）在R上是減函數(shù)；
（Ⅱ）∵?x∈R不等式f′（x）≤4x恒成立，
即?x∈R不等式3ax²+6x-1≤4x恒成立，
∴?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
當a≥0時，?x∈R，3ax²+2x-1≤0不恒成立，
當a＜0時，?x∈R不等式3ax²+2x-1≤0恒成立，
即△=4+12a≤0，
∴a≤-．
點評：函數(shù)的增減性由導函數(shù)的正負來決定，即導函數(shù)大于0，函數(shù)為增函數(shù)；導函數(shù)小于0，函數(shù)為減函數(shù)．本題不等式恒成立時滿足的條件是：二次函數(shù)y=3ax²+2x-1的圖象開口向下且跟的判別式小于等于0．