Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3
（1）在給出的坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（2）寫出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）討論方程f（x）=k解的個數(shù)，并求出相應(yīng)的解．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知的函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分x≥0和x＜0兩種情況，可得到f（x）的圖象；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)從左到右圖象上升對應(yīng)單調(diào)遞增區(qū)間，從左到右下降對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，可得到y(tǒng)=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)（1）中函數(shù)f（x）的圖象，分析函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k交點的個數(shù)，可得答案．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3的圖象如圖所示  …（3分）

（2）由圖可得：
函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3的單調(diào)遞增區(qū)間是（-2，0）和（2，+∞）
函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）和（0，2）…（6分）
（3）由圖可得：
當(dāng)k＜-1時，方程無解
當(dāng)k=-1時，方程有兩個解：x=±2
當(dāng)-1＜k＜3時，方程有四個解：x=±(2+

k+1

)，或x=±(2-

k+1

)
當(dāng)k=3時，方程有三個解：x=0或x=±4
當(dāng)k＞3時，方程有兩個解：x=±(2+

k+1

)…（14分）

點評：此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題，根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)f（x）=x²-4|x|+3的圖象是解答的關(guān)鍵．