Question

（2012•湛江二模）四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2a的正方形，各側(cè)棱均與底面邊長相等，E、F分別是PA、PC的中點．
（1）求證：PC∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE丄平面BDF；
（3）求四面體E-BDF的體積．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O．連接OE．E、O分別是PA、AC的中點．推出EO∥PC．然后證明PC∥平面BDE．
（2）證明BE⊥PA，DE⊥PA，推出PA⊥平面BDE，然后證明平面BDE⊥平面BDF．
（3）利用V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

•OF•S△EBD求出BE、BD，然后求解體積．

解答：解：（1）證明：連接AC交BD于O．連接OE．
在△PAC中，E、O分別是PA、AC的中點．
∴EO∥PC．
∵EO?平面BDE，PC?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）證明：∵△PAB是等邊三角形，且E是PA的中點，
∴BE⊥PA，同理DE⊥PA，
∴PA⊥平面BDE，
在△PAC中，F(xiàn)、O分別是PC、AC中點
∴OF⊥平面BDE，而OF?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）解：∵OF⊥平面BDE，
∴V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

•OF•S△EBD
在等邊三角形PAB中，PA=AB=2a，E是PA中點，
∴BE=

AB2-AE2

=

3

a同理DE=

3

a，
∵BD=

AB2+AD2

=2

2

a
在等腰三角形EBD中，EO是底邊BD上的高
∴EO=

EB2-BO2

=a，顯然，OF=EO，
∴V_E-BDF=V_F-BDE=

1

3

•OF•S△EBD
=

1

3

•a•

1

2

•BD•EO=

2

3

a3．

點評：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，邏輯推理能力．