Question

設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，
（1）求證：方程f（x）=0有實(shí)根；
（2）求證：-2＜

b

a

＜-1；
（3）設(shè)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)根，求|x₂-x₁|的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（0）f（1）＞0得c（3a+2b+c）＞0，又a+b+c=0可得2a²+3ab+b²＜0
（1）由判別式法判斷：因?yàn)椤?SUB>x=4b²-12ac=4b²+12a（a+b）=12a²+12ab+4b²═12（a2+ab+

1

3

b2)可得結(jié)論．
（2）由2a²+3ab+b²＜0，變形為(

b

a

)2+3(

b

a

)+2＜0求解即可．
（3）由韋達(dá)定理來(lái)構(gòu)造：|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-2x1x2

═

4b2 9a2 - 2c 3a

=

4 9 ( b a )2+ 2 3 ( b a )+ 2 3

，再由-2＜

b

a

＜-1求得其范圍．

解答：解：∵f（0）f（1）＞0
∴c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0即c=-a-b
所以（-a-b）（2a+b）＞0
即2a²+3ab+b²＜0
（1）△_x=4b²-12ac=4b²+12a（a+b）=12a²+12ab+4b²=12（a2+ab+

1

3

b2)
∴所給方程有實(shí)根（6分）
（2）由2a²+3ab+b²＜0知a2≠0，
(

b

a

)2+3(

b

a

)+2＜0
解得：-2＜

b

a

＜-1（6分）
（3）∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

═

4b2 9a2 - 4c 3a

=

4 9 ( b a )2+ 4 3 ( b a )+ 4 3

∵-2＜

b

a

＜-1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，
∴|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造不等式，二次函數(shù)求最值等．