Question

已知D、E分別在平面ABC的同側，且DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，DC=2，△ABC是邊長為2的正三角形，F(xiàn)是AD中點．
（1）當BE等于多少時，EF∥平面ABC；
（2）當EF∥平面ABC時，求平面DAE和平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）取AC中點G，連接FG、BG，則FG∥DC∥BE，易知當BE=1時，BEFG為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結論；
（2）由（1）知，當EF∥平面ABC時，BE=1，取BC中點O，過O作OZ⊥平面ABC，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，轉化為兩平面的法向量的夾角可求得結果；

解答：解：（1）取AC中點G，連接FG、BG，則FG∥DC∥BE，
當BE=1時，有FG=BE，即BEFG為平行四邊形，
故當BE=1時，EF∥BG，且BG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）由（1）知，當EF∥平面ABC時，BE=1，取BC中點O，過O作OZ⊥平面ABC，
如圖，建立空間直角坐標系，則A（

3

，0，0），B（0，1，0），E（0，1，1），D（0，-1，2），
平面ABC的法向量為

BE

=(0，0，1)，
設平面ADE法向量為

n

=(x，y，z)，

AD

=（-

3

，-1，2），

DE

=（0，2，-1），
由

n • AD =0 n • DE =0

，得

- 3 x-y+2z=0 2y-z=0

，取z=2，則y=1，x=

3

，
∴

n

=(

3

，1，2)，
∴cos＜

BE

，

n

＞=

BE • n

| BE || n |

=

2

2 2

=

2

2

，則＜

BE

，

n

＞=45°，
∴平面DAE和平面ABC所成角為45°或135°．

點評：本題考查線面平行的判定、二面角的求解，考查空間向量在立體幾何中的應用，考查學生的推理論證能力、空間想象能力．