Question

設(shè)f(x) 是定義在R上的減函數(shù)，滿足f(x+y)=f(x)·f(y)且f(0)=1，數(shù)列{a_n} 滿足
a₁=4，(n∈N*)；
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和， 試比較S_n與6n²-2的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)知可化為
，
∵y=f(x)是定義在R上的單調(diào)減函數(shù)，
∴，即，
∴數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴，
即a_n=。
（Ⅱ）S_n=a₁+a₂+a₃+···+a_n =4(1+3¹+3²+···+3^n-1)=2(3ⁿ-1) ，
當(dāng)n=1時，有S_n=6n²-2=4；
當(dāng)n=2時，有S_n=16<6n²-2=22；
當(dāng)n=3時，有S_n=6n²-2=52；
當(dāng)n=4時，有S_n=160>6n²-2=94；
當(dāng)n=5時，有Sn=484>6n²-2=148。
由此猜想當(dāng)n≥4時， 有S_n>6n²-23^n-1>n²，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥4，k∈N*)時， 有3^k-1>k²；
當(dāng)n=k+1時，有3^k=3·3^k-1>3k²，
∵k≥4，
∴k(k-1)≥12， ∴3k²-(k-1)²=2k(k-1)-1>0即3k²>(k+1)²，
∴3^k>3k²>(k+1)²， ∴3^k>(k+1)²，因此當(dāng)n=k+1時原式成立。
由①②可知，當(dāng)n≥4時有3^n-1>n²，
即S_n>6n²-2，
綜上可知當(dāng)n=1，3時，有S_n=6n²-2；當(dāng)n=2時，有S_n<6n²-2；當(dāng)n≥4時，有S_n>6n²-2。