Question

已知f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立，即x²-2ax+2-a≥0當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出函數(shù)在[-1，+∞）上的最小值，令其非負(fù)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍
解答：解：∵f（x）=x²-2ax+2，當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)，f（x）≥a恒成立
∴x²-2ax+2-a≥0當(dāng)x∈[-1，+∞）時(shí)恒成立  ①
△=4a²-4（2-a）≤0時(shí)，①式成立，解得-2≤a≤1
△=4a²-4（2-a）≥0時(shí)，得a＜-2或a＞1
又f（x）=x²-2ax+2-a的對(duì)稱軸是x=a
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)的最小值是a²-2a²+2-a≥0，解得-2≤a≤1，此種情況下無解，
當(dāng)a＜-2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-1，+∞）上是增函數(shù)，最小值在x=-1時(shí)取到，所以函數(shù)的最小值是3+a≥0，解得a≥-3，故有-3≤a＜-2
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3，1]
故答案為[-3，1]
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì)，且能根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)將題設(shè)中恒成立的條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于所求參數(shù)的不等式，解出a的取值范圍，本題求解時(shí)要注意轉(zhuǎn)化等價(jià)，分類要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，分類清楚，莫因?yàn)榉诸惒磺�，轉(zhuǎn)化不等價(jià)導(dǎo)致解題失敗．