Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為B₁C的中點(diǎn)．
（1）求直線BE與A₁C所成的角；
（2）在線段AA₁中上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出||；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求的相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量夾角公式求解．（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，要使CF⊥平面B₁DF，只要證明且即可，用向量法只要數(shù)量積為零即可．
解答：解：（1）以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵AC=2a，∠ABC=90°，
∴．
∴B（0，0，0），C（0，，0），A（，0，0），A₁（，0，3a），C₁（0，，3a），B₁（0，0，3a）．
∴，，3a），E（0，，，
∴，，3a），=（0，，．
∴，=，∴，
∴．故BE與A₁C所成的角為．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，要使CF⊥平面B₁DF，只要且．
不妨設(shè)AF=b，則F（，0，b），，，b），，0，b-3a），=，，0），，
∴恒成立．
或b=2a，
故當(dāng)或2a時(shí)，
CF⊥平面B₁DF．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用向量法研究線線垂直和異面直線所成的角，選用向量法，避開了作輔助線，優(yōu)越性很強(qiáng)，作為理科要注意應(yīng)用．