Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0），動(dòng)點(diǎn)A、M、N滿足（m＞1），，，．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點(diǎn)Q，且，若1≤λ≤2，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由向量的條件可得MN垂直平分AF，從而得線段ME，MF的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義可求得M的軌跡W的方程；
（2）依據(jù)向量關(guān)系式求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再將P、Q的坐標(biāo)代橢圓W的方程中，得到m的表達(dá)式，最后根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系求范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）∵，，
∴MN垂直平分AF．
又，∴點(diǎn)M在AE上，
∴，，
∴，（4分）
∴點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且半長(zhǎng)軸a=m，半焦距c=1，
∴b²=a²-c²=m²-1．
∴點(diǎn)M的軌跡W的方程為（m＞1）．（6分）
（Ⅱ）設(shè)Q（x₁，y₁）
∵，，
∴∴（8分）
由點(diǎn)P、Q均在橢圓W上，
∴（10分）
消去y并整理，得，
由及m＞1，解得1＜m≤2（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的幾何意義、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．