Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高AA₁=2，求：
（1）異面直線(xiàn)BD與AB₁所成的角的大小的余弦值
（2）四面體AB₁D₁C的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意知DC₁∥AB₁∴∠BDC₁就是異面直線(xiàn)BD 與AB₁ 所成角，解三角形即可求得結(jié)果．
（2）V_A-B1D1C=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1，而V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B1-ABC-V_D1-ACD-V_DA1C1D1-V_B-A1B1C1易求，即可求得四面體AB₁D₁C 的體積．

解答：解：（1）連接DC₁，BC₁，
易知DC₁∥AB₁，
∴∠BDC₁就是異面直線(xiàn)BD 與AB₁ 所成角，
在△BDC₁中，DC₁=BC₁=

5

，BD=

2

，
∴cos∠BDC₁=

2 2

5

=

10

10

．
所以異面直線(xiàn)BD與AB₁所成的角的大小的余弦值為

10

10

．
（2）VA-B1D1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1
而V_ABCD-AB1C1D1=S_ABCD•AA₁=1×2=2，
V_B1-ABC=V_D1-ACD=V_DA1C1D1=V_B-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×2．
∴V_A-B1D1C═2-4×

1

3

×

1

2

×2=

2

3

．
所以四面體AB₁D₁C的體積為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)基礎(chǔ)題．考查異面直線(xiàn)所成角和棱錐的體積問(wèn)題，求解方法一般是平移法，轉(zhuǎn)化為平面角問(wèn)題來(lái)解決，和利用割補(bǔ)法求棱錐的體積問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想．