設(shè)二次函數(shù)f(x)=mx2+nx+t的圖像過(guò)原點(diǎn),g(x)=ax3+bx−3(x>0),f(x), g(x)的導(dǎo)函數(shù)為,g¢(x),且=0, =−2,f(1)=g(1), =g¢(1).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式；

(Ⅱ)求F(x)=f(x)−g(x)的極小值；

(Ⅲ)是否存在實(shí)常數(shù)k和m,使得f(x)³kx+m和g(x)£kx+m成立?若存在,求出k和m的值；若不存在,說(shuō)明理由.

 

【答案】

 解 ：(Ⅰ)由已知得t=0,=2mx+n,

則=n=0, =−2m+n=−2,從而n=0, m=1,

∴f(x)=x2. 

則=2x,  g¢(x)=3ax2+b.

由f(1)=g(1), =g¢(1)得a+b−3=2,3a+b=2,解得a=−1,b=5,

∴g(x)=−x3+5x−3(x>0)  ……4分

(Ⅱ)∵F(x)=f(x)−g(x)=x3+x2−5x+3(x>0),

求導(dǎo)數(shù)得F¢(x)=3x2+2x−5=(x−1)(3x+5)

∴F(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+¥)單調(diào)遞增,從而F(x)的極小值為F(1)=0.  ……8分

(Ⅲ)因 f(x)與g(x)有一個(gè)公共點(diǎn)(1,1),而函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,1)的切線方程為y=2x−1.

下面驗(yàn)證都成立即可.

由(x−1)2=x2−2x+1³0,得x2³2x−1,知f(x)³2x−1恒成立.

設(shè)h(x)=−x3+5x−3−(2x−1)= −x3+3x−2(x)>0,

求導(dǎo)數(shù)得h¢(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)(x>0),

∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+¥)上單調(diào)遞減,所以h(x)=−x3+5x−3−(2x−1)的最大值為h(1)=0,

所以−x3+5x−3£2x−1,即g(x)£2x−1恒成立.

故存在這樣的實(shí)常數(shù)k和m,且k=2,m=−1    ……12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+x+c(c＞
1
8
)的圖象與x軸的左右兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x2-x1的取值范圍為（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
2
)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)a1∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有log3(
1
1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2014•長(zhǎng)寧區(qū)一模）設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）證明：當(dāng)an∈(0，
1
2
)時(shí)，數(shù)列{an}在該區(qū)間上是遞增數(shù)列；
（3）已知a1=
1
3
，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N*，都有log3(
1
1
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-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）≤6x+2恒成立；正數(shù)數(shù)列{an}滿足an+1=f（an）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)an∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{an}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）若已知，求證：數(shù)列{lg(
1
2
-an)+lg2}是等比數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m－1)的值為(    )

A.正數(shù)          B.負(fù)數(shù)   　　C.非負(fù)數(shù)              D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能

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