Question

二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象過點（0，2），且在x=1處切線的斜率為3．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]上不是單調函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）若對任意數(shù)的x₁∈（0，1），x₂∈（0，

1

2

），都有f（x₁）+2＜log_ax₂，（a＞0，a≠1）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,二次函數(shù)的性質,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由已知可得f（0）=2，f′（1）=3，由此構造方程組，求出a，b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]上不單調，則函數(shù)圖象的對稱軸在給定區(qū)間上，由此構造關于t的不等式，解不等式可得實數(shù)t的取值范圍；
（3）若對任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，0.5），都有f（x₁）+2＜log_ax₂（其中a＞0且a≠1）成立，只須滿足log_ax₂ 不小于x∈（0，1）時，f（x）+2=x²+x的上界，結合對數(shù)函數(shù)的單調性，可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由二次函數(shù)f（x）=x²+ax+b的圖象過點（0，2）得：
f（0）=2，即b=2，
又∵在x=1處切線的斜率為3．
∴f′（1）=2+a=3，即a=1
∴f（x）=x²+x+2                         
（2）函數(shù)f（x）=x²+x+2圖象的開口朝上，對稱軸為x=-0.5，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，-0.5）上單減，在（-0.5，+∞）上單增．
若f（x）在上[t，t+1]不單調，
則有t＜-0.5＜t+1，即-1.5＜t＜-0.5
∴實數(shù)t的取值范圍為（-1.5，-0.5）．
（3）當x₁∈（0，1）時，f（x₁）+2=x₁²+x₁+4
∵在x₁∈（0，1）上單增
∴f（x₁）+2∈（4，6）
要使對任意的x₁∈（0，1），x₂∈（0，0.5），都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
只須滿足6≤log_ax₂，
當0＜a＜1時，log_ax₂＞log_a0.5≥6，
∴解得

6	1 2

≤a＜1．
綜上所述，a的取值范圍為[

6	1 2

，1）．

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，對數(shù)函數(shù)的性質，恒成立問題，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質的綜合應用，難度中檔．