Question

17．已知函數f（x）=ax²-bx+lnx，a，b∈R．
（1）當a=b=1時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）當b=2a+1時，討論函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）首先對f（x）求導，因為f（1）=0，f′（1）=2，可直接利用點斜式寫出直線方程；
（2）求出f（x）的導函數，對參數a進行分類討論判斷函數的單調性即可．

解答 解：（1）因為a=b=1，所以f（x）=x²-x+lnx，
從而f'（x）=2x-1+$\frac{1}{x}$
因為f（1）=0，f′（1）=2，
故曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-0=2（x-1），即2x-y-2=0
（2）因為b=2a+1，所以f（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，從而
f'（x）=2ax-（2a-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，x＞0；
當a≤0時，x∈（0，1）時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
所以，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減
當0＜a＜$\frac{1}{2}$ 時，由f'（x）＞0得0＜x＜1 或x＞$\frac{1}{2a}$，由f'（x）＜0 得1＜x＜$\frac{1}{2a}$
所以f（x）在區(qū)間（0，1）和區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，+∞）上單調遞增，在區(qū)間 （1，$\frac{1}{2a}$）上單調遞減．
當a=$\frac{1}{2}$ 時，因為f'（x）≥0（當且僅當x=1時取等號），
所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增．
當a＞$\frac{1}{2}$ 時，由f'（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1，由f'（x）＜0 得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，
所以f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{2a}$）和區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，在區(qū)間（$\frac{1}{2a}$，1）上單調遞減．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，以及求曲線某點處的切線方程與分類討論思想，屬中等題．