Question

把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列．
（1）43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？
（2）這個(gè)數(shù)列的第96項(xiàng)是多少？
（3）求這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）先考慮大于43251的數(shù)，利用間接法求解；
（2）1、2、3、4開頭的五位數(shù)共有96個(gè)，所以第96項(xiàng)是4開頭最大的數(shù)，即可得到結(jié)論；
（3）因?yàn)?，2，3，4，5各在萬位上時(shí)都有A個(gè)五位數(shù)，所以萬位上數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）•A•10000；同理它們在千位、十位、個(gè)位上也都有A個(gè)五位數(shù)，所以可求這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)和．

解答：解：（1）先考慮大于43251的數(shù)，分為以下三類
第一類：以5打頭的有：

A

4 4

=24
第二類：以45打頭的有：

A

3 3

=6
第三類：以435打頭的有：

A

2 2

=2…（2分）
故不大于43251的五位數(shù)有：

A

5 5

-(

A

4 4

+

A

3 3

+

A

2 2

)=88（個(gè)）
即43251是第88項(xiàng)．…（4分）
（2）1開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；2開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；3開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；4開頭的五位數(shù)有

A

4 4

=24；
所以1、2、3、4開頭的五位數(shù)共有96個(gè)
所以第96項(xiàng)是4開頭最大的數(shù)，即45321．…（8分）
（3）因?yàn)?，2，3，4，5各在萬位上時(shí)都有A個(gè)五位數(shù)，
所以萬位上數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）•A•10000…（10分）
同理它們在千位、十位、個(gè)位上也都有A個(gè)五位數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)和為：
（1+2+3+4+5）•A•（1+10+100+1000+10000）=15×24×11111=3999960…（12分）

點(diǎn)評：本題考查排列知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．