Question

在底面直徑和高均為2R的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的底面半徑和高分別為多少時，它的體積最大？

Answer 1

【答案】分析：如圖：作出圓錐的軸截面，設(shè)出內(nèi)接圓柱的高h(yuǎn)，底面半徑r和體積V；建立V（r）的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)V（r）的最大值．
解答：解：如圖，作出圓錐的軸截面，
設(shè)圓柱的高為h，
底面半徑為r（0＜r＜R），體積為V，
則=，
∴h=2（R-r），
∴V=πr²h=2πr²（R-r）．
=2πRr²-2πr³．
∴V′=4πRr-6πr²，
令V′=0，得r=R，
∴當(dāng)r=R時，圓柱的體積V取得最大值，
此時圓柱的高h(yuǎn)=2（R-R）=R．
點評：本題考查建立函數(shù)模型的能力，通過函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值問題，是中檔題．