Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（Ⅰ） 求證：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求證：BD⊥EG；
（Ⅲ）求多面體ADBEG的體積．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點，∴，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（Ⅱ）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．
過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG，
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．
（Ⅲ）∵EF⊥平面AEB，AD∥EF，∴EF⊥平面AEB，
由（2）知四邊形BGHE為正方形，∴BE⊥BC．
∴V_ADBEG=V_D-AEB+V_D-BEC==，
分析：（Ⅰ） 先證明四邊形ADGB是平行四邊形，可得AB∥DG，從而證明AB∥平面DEG．
（Ⅱ） 過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再證BH⊥EG，從而可證EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．
（Ⅲ）要求多面體ADBEG的體積，利用分割的思想轉(zhuǎn)化為V_ADBEG=V_D-AEB+V_D-BEC轉(zhuǎn)化為求兩個三棱錐的體積即可．
點評：本題考查證明線面平行、線線垂直的方法，求多面體的體積，采取分割的方法是常用的解題方法，屬中檔題．