Question

已知三個數(shù)列{F_n}，{k_n}，{r_n}滿足：F₁=F₂=1，F(xiàn)_n+2=F_n+1+F_n（n∈N^*），r_n=F_n-3k_n，k_n∈N，0≤r_n＜3，則r₁+r₃+r₅+…+r₂₀₁₁=（ ）
A．1517
B．1511
C．1507
D．1509

Answer 1

【答案】分析：r_n為F_n除以3所得的余數(shù)，依次寫出F_n的各項，得到{r_n}的奇數(shù)項按1，2，2，1的周期規(guī)律排列．項數(shù)共有1006個奇數(shù)項，由此能夠求出結(jié)果．
解答：解：r_n為F_n除以3所得的余數(shù)，依次寫出F_n的各項
F₁  F₂  F₃  F₄  F₅  F₆  F₇  F₈  F₉  F₁₀  F₁₁  F₁₂  F₁₃  F₁₄  F₁₅
1   1   2   3  5   8 13  21 34  55  89  144  233 377 610
r₁  r₂ r₃ r₄  r₅ r₆ r₇ r₈  r₉ r₁₀ r₁₁ r₁₂ r₁₃ r₁₄   r₁₅
1   1   2   0  2   2   1   0  1   1   2  0    2   2    1
從上面可以看出
r₁=1，r₃=2，r₅=2，r₇=1，r₉=1，r₁₁=2，r₁₃=2，r₁₅=1
{r_n}的奇數(shù)項按1，2，2，1的周期規(guī)律排列．
項數(shù)共有1006個奇數(shù)項，故所求和為
251×6+3=1509，
故選D．
點評：本題以裴波拉契數(shù)列為背景主要考查歸納猜想，以及抽象概括能力．對式子，r_n=F_n-3k_n的理解是順利解答本題的關(guān)鍵，對符號意義的抽象概括是目前一般創(chuàng)新題設(shè)計的重要素材，要關(guān)注抽象的符號題并適當?shù)丶右杂柧殻?