已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由，點代入橢圓方程，二者聯(lián)立可以解出；（2）以的存在性分兩種情況：①不存在，直線:,易證符合題意；②存在時，設直線:，用直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達定理得，，又因為共線，有，由得，得出，由于成立，所以點在直線上，綜上:存在定直線:,使得與的交點總在直線上,的值是.
試題解析：（1）由，               2分
又點在橢圓上，，              4分
所以橢圓方程是：；                       5分
（2）當垂直軸時，，則的方程是：，
的方程是：，交點的坐標是：，猜測:存在常數(shù),
即直線的方程是:使得與的交點總在直線上,         6分
證明：設的方程是，點，
將的方程代入橢圓的方程得到：，
即：，                  7分
從而：，                 8分
因為：，共線
所以：，，                  9分
又，
要證明共線，即要證明，            10分
即證明：，
即：，
即：

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左焦點為，右焦點為．

（Ⅰ）設直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡的方程；
（Ⅱ）設為坐標原點，取曲線上不同于的點，以為直徑作圓與相交另外一點，求該圓的面積最小時點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內(nèi)時，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（Ⅰ）設直線的斜率分別為，求證：為定值；
（Ⅱ）求線段的長的最小值；
（Ⅲ）當點運動時，以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點？請證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率等于，點P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為，過點的動直線與橢圓相交于兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知曲線C1的極坐標方程為ρcos（θ－）＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cos（θ－）．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

極坐標系中橢圓C的方程為以極點為原點，極軸為軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度.
（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程；若橢圓上任一點坐標為，求的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦交于點，且直線與的傾斜角互補，
求證:.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上，A，C關于軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點A坐標為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，設拋物線的焦點為，且其準線與軸交于，以，為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為P.

（1）當時，求橢圓的方程；
（2）是否存在實數(shù)，使得的三條邊的邊長是連續(xù)的自然數(shù)？若存在，求出這樣的實數(shù)；若不存在，請說明理由.

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