Question

   已知：如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，，

且， 為中點．

（1）證明：//平面；

（2）證明：平面平面；

（3）求二面角的正弦值．

           

Answer 1

解： （Ⅰ）

證明：連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)EO．                 

O為BD中點，E為PD中點，∴EO//PB．                                    

EO平面AEC，PB平面AEC，    ∴ PB//平面AEC．  

（Ⅱ）證明： PA⊥平面ABCD． 平面ABCD，∴．                                    

又在正方形ABCD中且，  

∴CD平面PAD，又平面PCD，

∴平面平面．                       

（Ⅲ）如圖，以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空

間直角坐標(biāo)系．                                         

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．

PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，

=（0, 0, 2）．設(shè)平面AEC的法向量為, ,

則  即

∴ 

∴  令,則.    ∴,           

二面角的正弦值為