Question

在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

，右頂點為A，直線BC過原點O，且點B在x軸上方，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于點E、F．
（1）若點B(

2

，

3

)，求△ABC的面積；
（2）若點B為動點，設直線AB與AC的斜率分別為k₁、k₂．
①試探究：k₁•k₂是否為定值？若為定值，請求出；若不為定值，請說明理由；
②求△AEF的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意的離心率及點B的坐標，建立方程，求出a的值，即可求△ABC的面積；
（2）①k₁•k₂為定值，證明k1•k2=-

b2

a2

，由（1）得a²=2b²，即可得到結論；
②設直線AB的方程為y=k₁（x-a），直線AC的方程為y=k₂（x-a），令x=a+1得，求出△AEF的面積，結合①的結論，利用基本不等式，可求△AEF的面積的最小值．

解答：解：（1）由題意得

1- b2 a2 = 2 2 2 a2 + 3 b2 =1

解得a²=2b²=8，
則△ABC的面積S=2S△AOB=2×

1

2

×a×

3

=2

6

；
（2）①k₁•k₂為定值，下證之：
證明：設B（x₀，y₀），則C（-x₀，-y₀），且

x02

a2

+

y02

b2

=1，
而k1•k2=

y0

x0-a

•

y0

x0+a

=

y02

x02-a2

=

b2(1- x02 a2 )

x02-a2

=-

b2

a2

由（1）得a²=2b²，所以k1•k2=-

1

2

；
②設直線AB的方程為y=k₁（x-a），直線AC的方程為y=k₂（x-a），
令x=a+1得，y_E=k₁，y_F=k₂，則△AEF的面積S△AEF=

1

2

×EF×1=

1

2

|k2-k1|，
因為點B在x軸上方，所以k₁＜0，k₂＞0，
由k1•k2=-

1

2

得S△AEF=

1

2

(k2-k1)≥

1

2

×2

-k1k2

=

2

2

（當且僅當k₂=-k₁時等號成立）
所以，△AEF的面積的最小值為

2

2

．

點評：本題主要考查直線的方程、橢圓的方程及其簡單性質等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、化歸與轉化思想進行運算求解、推理論證的能力．