【答案】
分析:(1)一個極值點為x=1⇒f′(1)=0⇒a=-1,在利用函數(shù)f(x)在區(qū)間[α,β]上是單調(diào)的⇒b的取值范圍.
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[α,β]上是單調(diào)⇒|f(x
1)-f(x
2)|≤f(α)-f(β)再利用a的值和b的取值范圍⇒|f(x
1)-f(x
2)|≤1.
解答:(1)解:∵f(x)=x
3-x
2+ax+b,
∴f′(x)=3x
2-2x+a.
∵f(x)=x
3-x
2+ax+b的一個極值點為x=1,
∴f′(1)=3×1
2-2×1+a=0.
∴a=-1.(2分)
∴f′(x)=3x
2-2x-1=(3x+1)(x-1),
當(dāng)

時,f′(x)>0;當(dāng)

時,f′(x)<0;當(dāng)x>1時,f′(x)>0;
∴函數(shù)f(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上單調(diào)遞增.
∵方程ax
2+x+b=0的兩個實根為α,β,即x
2-x-b=0的兩根為α,β(α<β),
∴

.
∴α+β=1,αβ=-b,

.(4分)
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[α,β]上是單調(diào)的,
∴區(qū)間[α,β]只能是區(qū)間

,

,[1,+∞)之一的子區(qū)間.
由于α+β=1,α<β,故

.
若α<0,則α+β<1,與α+β=1矛盾.
∴[α,β]⊆[0,1].
∴方程x
2-x-b=0的兩根α,β都在區(qū)間[0,1]上.(6分)
令g(x)=x
2-x-b,g(x)的對稱軸為

,
則

解得

.
∴實數(shù)b的取值范圍為

.(8分)
說明:(6分)至(8分)的得分點也可以用下面的方法.
∵

且函數(shù)f(x)在區(qū)間[α,β]上是單調(diào)的,
∴

.
由

即

(6分)
解得

.
∴實數(shù)b的取值范圍為

.(8分)
(2)證明:由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[α,β]上單調(diào)遞減,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值為f(α),最小值為f(β).
∵x
1,x
2∈[α,β],
∴|f(x
1)-f(x
2)|≤f(α)-f(β)=(α
3-α
2-α+b)-(β
3-β
2-β+b)=(α
3-β
3)-(α
2-β
2)-(α-β)=(α-β)[(α+β)
2-αβ-(α+β)-1]=

=

.(10分)
令

,則

,

=

.
設(shè)

,則

.
∵

,
∴0<t≤1.
∴

>0.
∴函數(shù)

在(0,1]上單調(diào)遞增.(12分)
∴h(t)≤h(1)=1.
∴|f(x
1)-f(x
2)|≤1.(14分)
點評:函數(shù)的極值表示函數(shù)在某一點附近的情況,可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點,但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點,也就是說,是極值點的充分條件是在這一點的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值異號.