Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，函數(shù)f（x）=px²-（p+q）x+qlnx（其中p，q均為常數(shù)，且p＞q＞0），當(dāng)x=a₁時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，點(diǎn)（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函數(shù)的圖象上（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記b_n=·qⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n。

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=px-（p+q）+，
令f′（x）=0，得x=1或，
∵p＞q＞0，
∴，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在x=1處取得極小值，即a₁=1；
（Ⅱ）依題意，f′（x）+q=2px²+px-p，
，
所以，
由a₁=1，得p=1，
∴
當(dāng)n≥2時(shí)，
①-②，得，
∴，
∴，
由于，∴，
所以{a_n}是以a₁=1，公差為的等差數(shù)列，
∴。
（Ⅲ），
由，
所以
由已知p＞q＞0，而由（Ⅱ）知p=1，
∴q≠1，
∴，④
由③-④，得
，
∴。