已知函f(x)=ex-x (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求f(x)的最小值;
(2)不等式f(x)>ax的解集為P,若M={x|
12
≤x≤2
}且M∩P≠∅求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫n0f(x)dx,是否存在等差數(shù)列{an}和首項(xiàng)為f(I)公比大于0的等比數(shù)列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)∵函數(shù)f(x)=ex-x,對(duì)f(x)求導(dǎo),令f′(x)=0,得x=0,從而求得函數(shù)f(x)的最小值;
(2)由M={x|
1
2
≤x≤2
}且M∩P≠∅,得f(x)>ax在區(qū)間[
1
2
,1]有解,即ex-x>ax,可得a<
ex
x
-1
在[
1
2
,2]上有解,故令g(x)=
ex
x
-1
,x∈[
1
2
,2],求導(dǎo)得,g′(x)=
(x-1)ex
x2
,利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)在[
1
2
,2]上的最大值為
g(2),從而得a的取值范圍;
(3)設(shè)存在公差為d的等差數(shù)列{an}和公比為q(q>0),首項(xiàng)為f(1)的等比數(shù)列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn,則由sn=∫ONf(x)dx,得sn,由b1=f(1)=e-1,且a1+b1=s1,可得a1,又n≥2時(shí),an+bn=sn-sn-1=en-1(e-1)-n+
1
2

故n=2,3時(shí),有
-
1
2
+d+(e-1)q=e(e-1)-
3
2
   ①
-
1
2
+2d+(e-1)q2=e2(e-1)-
5
2
可解得q=e,從而得d=-1,所以求得an,bn;得到滿足條件的數(shù)列{an},{bn}.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=ex-x,∴f′(x)=ex-1;由f′(x)=0,得x=0,當(dāng)x>0時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減;∴函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=1.
(2)∵M(jìn)∩P≠∅,∴f(x)>ax在區(qū)間[
1
2
,1]有解,由f(x)>ax,得ex-x>ax,即a<
ex
x
-1
在[
1
2
,2]上有解;
令g(x)=
ex
x
-1
,x∈[
1
2
,2],則g′(x)=
(x-1)ex
x2
,∴g(x)在[
1
2
,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增;
又g(
1
2
)=2
e
-1,g(2)=
e2
2
-1,且g(2)>g(
1
2
),∴g(x)的最大值為g(2)=
e2
2
-1,∴a<
e2
2
-1.
(3)設(shè)存在公差為d的等差數(shù)列{an}和公比為q(q>0),首項(xiàng)為f(1)的等比數(shù)列{bn},
使a1+a2+…+an+b1+b2+…+bn=Sn
Sn=
n
0
f(x)dx=
n
0
(ex-x)dx=(ex-
1
2
x2)|_n=en-
1
2
n2-1
;且b1=f(1)=e-1,
a1+b1=S1a1+e-1=e-
3
2
;∴a1=-
1
2
,又n≥2時(shí),an+bn=sn-sn-1=en-1(e-1)-n+
1
2
;
故n=2,3時(shí),有
-
1
2
+d+(e-1)q=e(e-1)-
3
2
   ①
-
1
2
+2d+(e-1)q2=e2(e-1)-
5
2

②-①×2得,q2-2q=e2-2e,解得q=e,或q=2-e(舍),故q=e,d=-1;
此時(shí)an=-
1
2
+(n-1)(-1)=
1
2
-n,bn=(e-1)en-1an+bn=(e-1)en-1+
1
2
-n=Sn-Sn-1
;
∴存在滿足條件的數(shù)列{an},{bn}滿足題意.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題,集合關(guān)系,定積分求值問題,函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用問題,屬于較難的問題;解題時(shí)需要認(rèn)真分析,細(xì)心解答,避免出錯(cuò).
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(2)不等式f(x)>ax的解集為P,若M={x|數(shù)學(xué)公式}且M∩P≠∅求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)已知n∈N+,且Sn=∫n0f(x)dx,是否存在等差數(shù)列{an}和首項(xiàng)為f(I)公比大于0的等比數(shù)列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說明理由.

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(3)已知n∈N+,且Sn=∫nf(x)dx,是否存在等差數(shù)列{an}和首項(xiàng)為f(I)公比大于0的等比數(shù)列{bn},使得a1+a2+…+an+b1+b2+…bn=Sn?若存在,請(qǐng)求出數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式.若不存在,請(qǐng)說明理由.

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