Question

已知命題p：方程x²+ky²=2表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：?x∈（0，+∞），k＞x+

1

x

．如果命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：先化簡命題p和q，命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假得p，q中一真一假，列出不等式組，解出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：命題p：方程x²+ky²=2表示焦點在y軸上的橢圓，化為標(biāo)準(zhǔn)形式為

x2

2

+

y2

2 k

=1，則

2

k

＞2，解得0＜k＜1；
命題q：?x∈（0，+∞），k＞x+

1

x

≥2，則k＞2；
如果命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假，則p，q一真一假，
若p真q假，則

0＜k＜1 k≤2

，則0＜k＜1，
若p假q真，則

k≤0，或k≥1 k＞2

，則k≤0或1≤k＜2，
則k的取值范圍是k＜2．

點評：本題主要考查復(fù)合命題的真假，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，注意a＜f（x）恒成立等價于a＜f（x）的最小值，屬于綜合題，考查推理和解不等式的能力．