Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-1，則滿足$\frac{{a}_{n}}{n}$≤2的正整數(shù)n的集合為{1，2，3，4}．

Answer 1

分析 利用S_n=2a_n-1=2（S_n-S_n-1）-1、化簡可知S_n+1=2（S_n-1+1），進(jìn)而可知數(shù)列{S_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，S_n=2a_n-1=2（S_n-S_n-1）-1，
∴S_n=2S_n-1+1，
∴S_n+1=2（S_n-1+1），
又∵a₁=2a₁-1，
∴a₁=1，
∴a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{S_n+1}是以首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
∴S_n+1=2ⁿ，
∴a_n=（S_n+1）-（S_n-1+1）
=2ⁿ-2^n-1
=2^n-1，
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$≤2，即2^n-1≤2n，
∴n≤4，
故答案為：{1，2，3，4}．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．