Question

過(guò)拋物線y²=2px焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

OA

•

OB

的值是（　�。�

• A．

  3

  4

  p2
• B．-

  3

  4

  p2
• C．3p²
• D．-3p²

Answer 1

分析：分情況討論：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，

OA

•

OB

的值；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，再設(shè)出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系，再代入

OA

•

OB

計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答：解：若直線l垂直于x軸，則 A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p).

OA

•

OB

=(

p

2

)2-p2=-

3

4

p2．…（2分）
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為 y=k(x-

p

2

)，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

⇒k2x2-p(2+k2)x+

p2

4

k2=0
∴x1+x2=

(2+k2)

k2

p，x1•x2=

p2

4

．…（4分）
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1-

p

2

)(x2-

p

2

)=(1+k2)x1x2-

p

2

k2(x1+x2)+

p2k2

4

=(1+k2)

p2

4

-

p

2

k2•

(2+k2)p

k2

+

p2k2

4

=-

3

4

p2．
綜上，

OA

•

OB

=-

3

4

p2為定值．…（6分）
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求出x₁•x₂ 和y₁•y₂的值，是解題的關(guān)鍵．