Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象關(guān)于原點對稱，且x=1時，f（x）取極小值．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；
（3）若x₁，x₂∈[-1，1]時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1））因為函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點對稱，所以對任意實數(shù)x有f（-x）=-f（x），即可得出b，d；由x=1時，f（x）取極小值，解出即可；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立．利用導(dǎo)數(shù)得出切線的斜率，再用反證法即可證明；
（3）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上的單調(diào)性，得出其最大值與最小值，即可證明．
解答：解（1）∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點對稱，∴對任意實數(shù)x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，即bx²-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
∵x=1時，f（x）取極小值，∴即，
解得．
故，b=d=0，c=-1．
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，圖象上不存在這樣的兩點使結(jié)論成立．
假設(shè)圖象上存在兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），使得過此兩點處的切線互相垂直，
則由f'（x）=x²-1，知兩點處的切線斜率分別為，
且（*）．
∵x₁、x₂∈[-1，1]，∴，∴
此與（*）相矛盾，故假設(shè)不成立．
（3）證明：∵f'（x）=x²-1，令f'（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0；x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，且
∴在[-1，1]上，時，
．
點評：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、切線的斜率及其奇偶性、反證法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，要求具有較強的推理能力與計算能力．